1305.黄金屋131~《神奇的数学》
2019.09.04
非常有趣的数学，有些内容还是太深。
2019.01.04（周五）
《神奇的数学》- 01
第1章奇事之永不终止的质数
2,3,5,7,11,13,……这些数字都是质数，即不可分解因子的数字。质数是其他所有数字的基石，就像是数学世界里的氢元素和氧元素。作为数字中的主要角色，它们就像是镶嵌在无穷无尽的数字链条之上的一颗颗闪烁的宝石。
质数是数学的基石
尽管质数十分重要，但仍是人类追求知识的道路上最难解的谜团之一。我们至今无法找到所有质数，因为没有能逐个算出质数的神奇公式。它们就像是埋在地底的宝藏，但无人握有藏宝图。
现在还是找不到所有质数
1到底是不是质数呢？说是也行，说不是也行。（人人都爱这种类型的数学题目，正说反说都对。）两百年前，质数列表中是包含1的，它是第一个质数。毕竟1不可再分，因为唯一能整除它的整数就是它本身。但是现在，我们认为1不再是一个质数，因为质数最重要的一个属性就是，它们是构成所有数字的基石。只要我用一个质数乘以一个数字，便可得出一个新的数字。虽然1不可再分，但不管哪个数字乘以1后得到的依然还是它本身，基于这一点，我们把1排除在质数以外，这样一来，数字2便成了第一个质数。
1不再是质数，因为任何数乘以1，得不到新的数
在北美洲的森林里，栖息着一种生命周期十分古怪的蝉类。这些蝉藏于地下长达17年，其间甚少活动，只是吸吮树木的根茎以获得养分。
而如果一只17年周期的蝉确实提早钻出地面，它不会只提早一年，而通常会提早4年，其生命周期也因此转变成13年，这一点颇为惊奇。
17年出现一次的蝉
第一乐章《纯洁的礼拜仪式》里，梅西安希望营造出一种时间无休无止的感觉，而质数17和29便在其中发挥了关键作用。小提琴和黑管交相奏出象征鸟的歌声的主题，而大提琴和钢琴则负责提供韵律节奏。在钢琴的韵律中，一个17音符的节奏序列循环往复，而配合该节奏的和弦序列则包含29个和弦。因此当17音符的节奏开始第二轮演奏时，和弦序列只进行到约三分之二的位置。选择质数17和29的效果就是它们分别作为韵律和和弦序列的基础，整个乐曲要到17×29个音符处才会重复。
17和29的乐谱
中国文化可能是最早认识到质数重要性的文化之一。中国人认为每个数字都有性别，偶数为阴，奇数为阳。他们还意识到某些奇数尤其特别。例如，如果有15块石头，你可以用三排五列的方式将其摆成一个规则的长方形；但如果有17块石头，则无法进行这样的排列，你只能将所有石头摆成一条直线。因此，对中国人来说，质数是一些最具阳刚气概的数字。而其他那些非质数的奇数，尽管也是阳性，但多少有些阴柔气质。
这一古中国人的视角捕捉到了质数最本质的属性——若无法将一堆石头排列为一个整齐的长方形的话，那么，石头的数量便为质数。
中国人对质数的认识
以下是古希腊人发现的一种系统性的筛选较小质数的高效方式，目的就是找到一种能很快剔除非质数的有效方法。首先，依次写下1到100的所有数字。然后剔除掉数字1。（前文已经提到过，虽然古希腊人将1视为质数，但21世纪的我们不再这么认为了。）接下来看第二个数字2，它是第一个质数。然后将2之后每隔一个的数字全部剔除掉。这样便可以一下子将所有2的倍数都筛掉了，也就是剔除掉除2以外的所有偶数。数学家喜欢开玩笑说，因为2是唯一一个偶质数，因此2也是个奇质数（oddprime）。4不好笑吧？幽默大概并非数学家的强项。
2是唯一的偶质数
为证明质数的无穷无尽，欧几里得首先反证，即是否可能只存在有限的质数。倘若如此的话，通过这些有限质数的彼此相乘必须能得到所有其他数字。比如，假设你认为列表上只存在三个质数：2、3和5。那么，是否通过这三个数字不同的乘积组合，能得出所有其他数字？欧几里得想出一种方法，可以找出无法被这三个质数捕捉到的数字。
反证法证明质数无穷
第2章不可捉摸的形状之谜
气泡试图寻找到一种需要最少能量就能塑成的形状，而且这种能量均匀分布在表面区域。气泡中包含一定量的空气，其体积并不会随形状的改变而改变。当空气的数量一定时，球形是其中表面面积最小的一种形状。因此，球形也是使用能量最少的一种形状。
球形
如果你正在制造滚珠轴承或枪支的子弹，那么，打造出完美球形将是一件生死攸关的事情，因为形状上的细微偏差就会造成枪支的逆火，或机器的损坏。
当融化的铁水从高塔的顶端向下坠落时，和气泡一样，铁水也在下落的过程中呈现出完美球形。于是，瓦茨设想，如果在塔底放一桶水，当铁水接触水面后，是否能够把这个完美球形冻结。他决定要在布里斯托尔的家中检验这一想法。麻烦是，他需要铁水的坠落距离超过3层楼的高度，从而为铁水提供足够多的时间供其呈现出球形。
如果制造滚珠
病毒之所以喜欢对称形状，是因为对称为它们提供了一种十分简单的繁殖方式，这亦是病毒为何具有如此强大的传染性的原因所在——事实上，“virulent”（由病毒的英文词变形而来）一词的意思便是容易传染的和剧毒的。传统上看，对称形状在美学上是非常引人注目的，不管是钻石、花朵还是模特的脸，都是如此。
病毒喜欢对称
17世纪的天文学家和数学家约翰尼斯·开普勒是最早尝试为该问题给出数学解答的人之一。他通过观察石榴的内部才明白了雪花为什么会有6瓣。石榴籽一开始都是球形的。正如所有水果商贩都知道的那样，摆放球形水果最节省空间的方式就是把它们摆成一层一层的六边形。这样，层与层之间会彼此契合在一起，每颗水果下面一层都有3颗水果托着它。合在一起，这四颗水果则构成了一个四面体的4个角。
雪花的6边形
1960年，法国数学家本华·曼德博被邀请去哈佛大学经济系做一场讲座，介绍他近期研究的高收入和低收入之间的分布。在他踏入举办者的办公室后，看到黑板上竟然画着他为本次演讲而准备的图表时，感到心烦意乱。“你们是如何提前拿到我的数据的？”他问道。有趣的是，黑板上的图表和他要讲的收入问题毫不相关——它们其实是活动举办者在之前的一个讲座中分析的棉花价格走势。
图表看起来都一样
如果你从花菜上掰下一小块，然后将其放大，它看上去简直和整棵花菜如出一辙。如果你将曲折的闪电截取一段放大来看，它也不会呈现出一条直线，而是和原初的闪电形状别无二致。曼德博将这些分形体称之为“自然界的几何体”，因为它们代表着一种全新种类的形状，而且直到20世纪它们才首次被人类认知。
分形
2019.01.07（周一）
《神奇的数学》- 02
由于最早的骰子是从关节骨进化而来的，所以它最早所采用的对称形状为四面体（有4个三角形表面）也就不足为怪了。而我们所了解的最早的一个棋盘游戏使用的骰子也是这样的金字塔形状。
骰子是从关节骨头来的
数独精神或许可以在数学家根据幻方所引申出的一个谜题中找到踪迹。将一副标准纸牌中的人头牌（K、Q、J）和A牌抽走，然后把纸牌放进一个4×4的网格中，使得网格中每一排和每一列中都不存在同等花色和大小的纸牌。这一问题最早于1694年由法国数学家雅克·奥扎拉姆提出，或许他可以被视为数独的发明者吧。
其中有一位对幻方十分着迷的数学家，他是莱昂哈德·欧拉。在欧拉去世前几年的1779年，他为以上问题提供了一个不同的版本：假设有6个兵团，每个兵团有6名军人。不同兵团的军人均身着不同颜色的制服，分别为红色、蓝色、黄色、绿色、橙色及紫色。每个兵团中的军人分别位居不同军衔，包括上校、少校、上尉、中尉、下士及二等兵各一位。该问题就是把所有军人分别放在一个6×6的网格中，使每一行每一列的军人都分属不同兵团和不同军衔。欧拉之所以把这个问题放在6×6的网格中，是因为他认为6×6的网格不能完美安排这36名军人。直到1901年，这一观点才被法国的一位业余数学家加斯顿·泰利证实。
数独的来历
第4章不可破解之密码
公元前500年，斯巴达人发明了一种最复杂的藏匿信息的方法。他们采用一种特殊的叫做密码棒的木制圆筒，在圆筒的外面螺旋状地包裹一张很细的纸条。秘密讯息便写在这张纸条上，纵向地紧贴在圆筒上，但是，当纸条被取下来后，上面的讯息看上去就像一篇晦涩的天书。只有把这张纸条卷在另外一根相同尺寸的密码棒上，所有的字母才能准确地呈现出来。
斯巴达人的编码方式
恩尼格玛密码机按照每个字母一套替换码的原则进行密文编写。如果我们把文字编码为序列aaaaaa（或许表示我现在“正承受痛苦”），那么其中的每个字母a都会使用一套不同的密码。恩尼格玛密码机的绝妙之处就在于它把替换码与替换码之间的置换执行得十分高效。
恩尼格玛
有了摩尔斯电码的帮助，现在我们就可以来破解贝多芬第五交响曲中的隐藏讯息了。如果将乐曲的开场片段视为一段摩尔斯电码的话，那么，4个音符所对应的点点点划所表示的就是字母v，BBC就是用它来寓意战争的Victory（胜利）。
摩尔斯电码
这样一来，如果我在输入ISBN码时输错了某几位数字，根据此序列计算出的数字便不能被11整除，于是，电脑便会提示输入错误，并引导我再输一遍。即使我把其中的两位数字填颠倒了（这种情况时有发生），电脑同样也会检测到这一错误，从而提醒我输入正确的ISBN码，而不是寄给我一本错误的书籍。真够聪明的吧？
ISBN最后一位用来校验
第5章预测未来
再精确一点的话，地球需要365.2422个这样的太阳日才能围绕太阳旋转一周。格里高利历法（即多数国家所使用的历法）正是建立在这一周期的近似值之上的。多出的0.2422接近四分之一，因此，每过4年就在格里高利日历中增加1天，从而大体上与地球围绕太阳轨道旋转的步调保持了协调一致。不过，由于0.2422并非真正的四分之一，因此，在历法中还要做一些微调：每过100年，我们会替换掉1个闰年，而每过400年，则要停止替换，保留这样一个闰年。
阳历闰年
伊斯兰历法采用的的则是月球周期。其历法中的基本单位为太阴月，12个太阴月构成1个太阴年。太阴月以麦加上空的新月初现为始，约有29.53天。这样算下来，1个太阴年要比1个太阳年短了11天。365除以11约等于33，因此，要花33年的时间，斋月才能在太阳年中走过一轮，这也正是为何斋月逐渐溜走的原因了，正如格里高利历法推算的那样。
伊斯兰历法是纯月亮历
犹太人和中国人的历法则是将两者搭配起来使用，同时借鉴了地球围绕太阳旋转的周期和月亮围绕地球旋转的周期。他们通过每过大约3年时间添加1个闰月的方式来构建历法，其中的运算关键则要仰赖这个神奇数字19。19个太阳年（=19×365.2422天）和235个太阴月（=235×29.53天）几乎完全吻合。在中国历法中，每19年的轮回中有7个闰年，以保持阳历和阴历的协调一致。
犹太人和中国农历是太阳历和月亮历结合，闰月
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